O que é Índice de Sharpe e como calcular?

O Índice de Sharpe é uma métrica muito utilizada em finanças como uma medida da relação risco e retorno. É usado para comparar investimentos, sendo que seu uso é muito comum em fundos de investimentos. Porém, pode ser aplicado também na análise de portfolios (carteiras) de ações e outros ativos de renda variável. Acompanhe neste artigo os detalhes sobre o que é Índice de Sharpe.

O que é Índice de Sharpe?

Índice de Sharpe é o retorno obtido em excesso (retorno total da carteira subtraído do retorno do benchmark) por unidade de volatilidade dos retornos em excesso (medida pelo desvio padrão), aplicado a um período específico.

Quanto maior o Índice de Sharpe melhor, pois indica que para cada unidade de risco é obtido um maior percentual de retorno.

Por retorno entendemos o retorno absoluto, calculado como a variação percentual entre dois períodos ( $t$ e $t-1$ ).

Porém, pode-se também utilizar no Índice de Sharpe o log retorno, sendo que seu uso é recomendado principalmente quando os retornos absolutos são heteroscedásticos, ou seja, possuem variância não constante ao longo do tempo.

Para maiores detalhes sobre como calcular o retorno de ativos financeiros veja este artigo.

Já por benchmark entende-se como um ativo que sirva de base para comparação, sendo que seu retorno representa o mínimo exigido pelo investidor para correr o risco adicional de aplicar no ativo desejado ao invés de aplicar diretamente no benchmark.

Na primeira versão do Índice de Sharpe (Sharpe, 1966), que tem seu uso muito difundido em livros-texto de finanças, o retorno em excesso era sempre calculado sobre o ativo livre de risco. Sendo este normalmente representado pelos títulos públicos pós-fixados atrelados à taxa básica de juros de um país: Tesouro SELIC no Brasil, T-bonds nos EUA, por exemplo.

Mais recentemente (Sharpe, 1994, 2008; Riondato, 2018), porém, o retorno em excesso do Índice de Sharpe pode ser também tratado como uma comparação a um benchmark, sendo esta uma visão mais genérica.

Voltando ao Índice de Sharpe. Veja esta definição do próprio Sharpe (2008):

Se os investidores se preocupam apenas com a média e a variância do retorno de suas carteiras e que haja a possibilidade de emprestar e tomar emprestado à taxa de juros livre de risco; a preferência por uma carteira pode ser avaliada pelo cálculo do Índice de Sharpe: isto é a taxa obtida entre (1) o retorno em excesso da carteira em relação à taxa de juros livre de risco e (2) o desvio-padrão do retorno em excesso.

Como calcular o Índice de Sharpe?

A fórmula do Índice de Sharpe é a seguinte:

$\text{Indice de Sharpe (IS)} = \frac{R_a - R_b}{\sqrt{Var(R_a-R_b)}},$

sendo $R_a$ o retorno do ativo sendo analisado e $R_b$ o retorno do benchmark.

O denominador da fórmula do Índice de Sharpe representa o desvio padrão do excesso de retornos em relação ao benchmark. Já o numerador representa justamente este excesso de retorno, podendo ser definido da seguinte forma:

$d = R_a - R_b,$

sendo $d$ a diferença entre o retorno do ativo ( $R_a$ ) e o retorno do benchmark $R_b$ .

Dessa forma, a fórmula do Índice de Sharpe fica a seguinte:

$IS = \frac{d}{\sigma_{d}},$

Os valores de $R_a$ e $R_b$ podem ser expectativas, sendo que neste caso estamos falando do Índice de Sharpe ex-ante (calculado antes dos retornos esperados de fato ocorrerem).

Ou podemos também trabalhar com os valores históricos de retornos. Neste caso, como os retornos já ocorreram, estamos falando do Índice de Sharpe ex-post.

A primeira versão do Índice de Sharpe foi apresentada em Sharpe (1966) e possui como denominador o desvio padrão dos retornos dos ativos.

Porém, posteriormente, Sharpe (1994) revisou seu trabalho e afirmou que o ideal seria considerar como denominador para calcular o Índice de Sharpe o desvio-padrão dos excessos de retornos.

Quem é Willian Sharpe?

Willian Sharpe é um economista norte-americano, professor e pesquisador de finanças.

Na economia e na literatura de finanças, Willian Sharpe é conhecido por ser o criador do CAPM (Capital Asset Pricing Model) e também do Índice de Sharpe.

Vale lembrar que ao discorrer sobre o CAPM, o qual foi desenvolvido com base nas teorias de Harry Markowitz, Sharpe tratou de diversos temas muito usados também em finanças. Entre estes temas incluem-se a Capital Market Line e a Security Market Line (Linha de Mercado de Capitais e Linha de Mercado de Títulos, respectivamente).

O próprio Índice de Sharpe possui relação com o CAPM: todas as proporções de portfolios da CML têm o mesmo Índice de Sharpe que a carteira de mercado.

Não foi a toa que em 1990 Willian Sharpe recebeu o Nobel de Economia, juntamente com Harry Markowitz e Merton Miller.

Como aplicar o Índice de Sharpe?

Seguem alguns passos necessários para se obter o Índice de Sharpe para ativos de renda variável:

Para aplicar o Índice de Sharpe é preciso ter em mente um ativo de renda variável e um ativo que servirá como benchmark (para uso geral será a taxa SELIC, no Brasil).
É preciso definir um prazo e uma frequência de dados para aplicar o indicador (1 IS por ano com dados diários, por exemplo).
Depois é preciso obter os dados de preços destes ativos.
Calcular os retornos, o excesso de retorno e o desvio-padrão do excesso de retorno.
Então basta aplicar a fórmula do índice, dividindo o excesso de retornos pelo desvio-padrão.

Este processo pode tranquilamente ser executado numa planilha eletrônica ou, melhor ainda, em linguagens de ciência de dados, como R ou Python.

DICA: como obter os dados de exemplo para calcular o Índice de Sharpe?

O Índice de Sharpe é recomendado de ser usado em retornos agregados de um portolfio (carteira de investimento). Você pode montar uma carteira e baixar os dados históricos das ações que deseja utilizando o Google Planilhas, pela função:

=GOOGLEFINANCE("BVMF:MGLU3", "price", DATE(2019,1,1), TODAY(), "DAILY")

Mas a minha opção preferida é utilizar a linguagem R. É muito simples, basta utilizar o comando:

library(tidyquant)
prices <- tq_get(
  c("MGLU3.SA", "ITUB3.SA"),
  get  = "stock.prices",
  from = "2019-01-01",
  to   = "2019-11-25"
)

Para dados do benchmark é possível utilizar dados históricos da Taxa SELIC. Estes dados podem ser obtidos pelo site do Banco Central (base anual) ou ainda pelo Quandl (base diária), neste link. Apenas tome cuidado com a frequência dos dados que for trabalhar e de realizar os devidos tratamentos de equivalência de taxas de matemática financeira.

Conclusões

O Índice de Sharpe é uma métrica muito importante para a análise da relação de risco e retorno de carteiras de investimentos.

É muito utilizado na análise de fundos de investimentos.

Seguem alguns key points acerca do Índice de Sharpe:

Quanto maior o Índice de Sharpe melhor.
Para que IS possa ser aplicado a variância do excesso de retorno precisa ser superior à zero.
O benchmark pode ser “livre de risco” (podendo ser inclusive uma constante), mas não necessariamente. No entendimento mais recente do Índice de Sharpe o benchmark pode envolver algum tipo de risco.

Referências

SHARPE, W. F. (1966). Mutual fund performance. The Journal of business, 39(1), 119-138.

SHARPE, W. F. (2008). Investidores e mercados. São Paulo: Novo Conceito Editora.

Sharpe, W. F. (1994). The sharpe ratio. Journal of portfolio management, 21(1), 49-58. Ler.

Riondato, M. (2018). Sharpe ratio: Estimation, confidence intervals, and hypothesis testing. Two Sigma Technical Report. Ler.